2024-05-18 18:26
中国银行业协会行业发展研究专业委员会积极搭建优秀研究成果分享平台，希望通过汇集行业力量，促进交流，凝聚行业共识，推动优秀经验做法转化为商业银行转型发展的加速器。本期推荐交通银行撰写的《基于多元尾部相依系数的银行尾部风险相关性研究》。
党的二十大报告指出，要守住不发生系统性风险的底线。银行作为我国重要的金融主体，需要响应政策号召，作出积极防范风险的表率。2020年12月，中国人民银行、银保监会联合出台《系统重要性银行评估办法》，标志着“牢牢守住不发生系统性金融风险的底线”、防范系统性金融风险迈出关键一步。系统重要性银行的评估有利于实现系统性金融风险防范与治理的量化测度。
本文延续Gaida等（2018）对高维模型建立尾部相依系数的研究，使用16家上市银行的日对数收益率数据，采用粘合度高的多元t-Copula构建其所定义的多元尾部相依系数（Multivariate Tail Dependence Coeffient，MTDC），探索在银行数据上的尾部相关性反应，同时构建了多元尾部相依系数矩阵，构造了尾部风险相依度、尾部风险贡献度测度指标，分析了银行尾部风险的相关性。以供读者参考。
在全球金融经济交互日益密切的今天，资本在金融机构之间相互渗透，越来越多金融机构被紧密连接在一起。全球金融市场之间、中国金融行业内，都面临着被风险溢出、风险传染的危险。中国金融市场正发挥着社会经济资源配置、调节反馈监督经济体运行状况的作用。金融市场功能的稳定发挥为我国实体经济的健康运行提供了保障，而维护金融系统的稳定运行的关键在于防范系统性风险导致的强尾部风险关联现象的发生。2020年是特殊的一年，突如其来的疫情严重影响了人们的日常生活和工作，同时也造成了经济停滞、就业紊乱等现象。投资者信心一再受挫，金融市场面临着系统性风险逼近的强烈压力。银行业作为系统性金融风险的贡献巨头，行业内业务相互覆盖，各种交流合作越来越紧密，理应更加重视系统性风险防范。为响应国家号召宽松的货币政策和财政政策，银行业扩大放贷规模、延迟贷款期限，为受疫情影响的企业发放利率优惠的扶持贷款。风险在我国社会主义体质下已经没有被合理定价。信用风险或在未来的集体暴露，为银行业健康运行埋下了雷。
衡量银行业系统性风险，传统的风险相依性测度方法主要为低维、线性的风险相依问题提供解决方案。对于低维数据和线性相关数据的金融风险研究技术和模型目前已经相当成熟。但许多实证研究结果与现实的风险反应有差异，金融风险计量方法在技术层面上与现实状况有较大偏差。金融资产收益序列特征的尖峰厚尾、波动率聚集、杠杆效应、季节效应使得线性研究方法受到了挑战。20世纪以来，随着Copula方法的广泛研究，非线性风险测度的研究得到了学者关注，时间序列模型的研究也越来越深入。越来越多的学者开始针对金融时间序列数据建立非线性相依模型。二元Copula发展迅速、使用广泛，大量的学者早已将Copula方法用于金融、银行业实证研究，确实也成果丰硕。但是真实的金融数据处于一个高维的世界之中，解决高维问题面临的维度灾难致使二维方法失效。这也导致Copula方法在经历迅速膨胀后悄然冷却。随着计算机技术的发展，机器学习和神经网络成为了当下研究的热潮，大数据的发展为高维模型的估计提供了有力支撑。Copula方法也因此重获新生，近两年来不断有学者开始关注高维Copula函数和多元的风险建模，并取得了相应的突破。基于此背景，我们站在前人的肩膀上，用新的理论和方法，研究银行业目前面临的系统性风险和尾部相关性问题。
本文拟用各上市银行收益率序列作为银行的经营绩效评估，使用基于Copula理论的多元尾部相依系数作为研究方法，研究、探讨银行业间尾部风险的相关性以及尾部风险相依性的影响因素中对个体风险和系统性风险的分解。本文建立的银行业尾部相依结构，更加简洁地描述单个银行对系统的风险贡献度和风险相依度，即单个银行自身的尾部风险因素对整个银行业的影响以及受银行业尾部风险相依性影响的程度。我们还对银行两两之间尾部相依性影响构建贡献度矩阵，更加详尽地去了解银行业风险的特征，希望能为银行业风险管理、风险治理方面提供理论和实证的依据。
Copula函数的一种典型应用方法就是尾部相依性描述，这种相依性描述存在天然的非线性研究的优势。尾部相依系数刻画了边际分布在尾部的依赖程度，在风险度量中，尾部相依性愈发得受到重视。二元的尾部相依性在之前的研究中已经做出了详尽的讨论，它回答了“一个变量处于分布的尾部时，另一个变量是否处于尾部”这一问题。而真实的世界里多元的情况更为普遍，而这个问题并没有被广泛地研究，我们自然会提问：在其他至少一个变量处于尾部的条件下，某一个变量是否也处于尾部？从而有多元尾部相依系数（Multivariate Tail Dependence Coefficient，MTDC）的提出，多元尾部相依系数本身并不依赖参数，但是它在使用条件概率去刻画风险联合时会考虑到边际分布，边际分布则可能会引入参数。同时，联合边际分布的Copula函数也会引入随Copula函数选择而不同的参数。我们一方面需要讨论的是应用在实际数据上的多元尾部相依系数使用参数方法还是非参数方法更有效或更节省计算资源。另一方面，多元尾部相依系数并没有没有分离出系统性风险因素，我们希望借鉴福利经济学中Shapley对贡献的分配思想，对多元尾部相依系数做一些适应性处理，使得其用于银行业尾部风险管理更有价值，对研究银行业的系统性风险和风险溢出效应有帮助。
在计算Gaida等（2018）所定义的多元尾部相依系数的过程中，t分布多次被使用到。n维t分布的密度函数表达如下：
其中是n维位置参数，是一维自由度参数，是协方差矩阵。式（1）由多元正态分布的概率密度函数的Cholesky分解容易得出显式表达，但是关于多元t分布的累积分布函数的理论推导则相对困难，目前仍处于研究之中。与Peel和 McLachlan（2000）以及大多数学者使用的方法相同，本文使用的近似方法是Alan和Frank（1999）所给出的积分转化算法，将对式（1）的n重积分转化为n-1维超立方体积分计算，在进行蒙特卡洛模拟，相比于传统的接受-拒绝算法、蒙特卡洛算法以及晶体规则算法保持了计算的精度，但时间复杂度更低。
n维t-Copula函数的累积分布函数如式（2）所示，其中边缘分布和联合分布函数均是t分布的分布函数及逆函数表达。
其中表示协方差矩阵为，自由度为的n维t分布的联合分布函数。由于联合分布没有显式表达而多元t分布的密度函数有显示定义，因此通过推论推出n维t-Copula函数的密度函数，如式（3）所示。
无论是显式表达还是数值方法，我们可以通过对样本数据的参数估计求得多元t-Copula和多元t分布的累积分布函数和概率密度函数。对于随机变量的联合分布也可以通过已知的边缘分布和Copula函数表达，从而我们也可以求出随机变量的联合概率。
Copula模型的优势即在于将随机变量各自的边缘分布和随机变量之间刻画相依性的Copula函数分开来研究，两个部分的选择灵活且具备关联性，因此在构建Copula模型的时候建模逻辑会比较清晰。本文首要的工作是构建时间序列模型，刻画研究目标的数据分布特征。
本文所要研究的问题是银行尾部风险相关性测度，使用的数据为上市银行的股票收益率日频数据。在中国，银行业最能反映出金融市场的运行状况。大量的实证研究证明了金融市场的运行机制并非符合有效市场假说，金融数据的理论分析必然与实际状况有所偏差，传统的风险管理一般假设的收益率服从几何布朗运动，即对数资产价格服从正态分布，使用线性相关性测度方法来近似刻画非线性相依性。然而金融市场中的典型事实是资产收益的分布具有比正态分布更厚的尾部，并且具有波动率聚集的特征，固定波动率的模型很难对资产进行较长期的解释或者刻画。除此之外，金融时间序列数据往往还具有杠杆性、季节性等特征，这使得我们建立的边缘分布模型克服数据呈现出周期性和非对称的挑战。
对金融时间序列数据建模首先要判断序列是否为平稳序列，要确保时间序列数据的一阶矩二阶矩不随时间的改变而变化，这样我们的模型建立在任意一个时间点上的概率分布才是有意义的。平稳时间序列是非单位根过程，实证中常用如ADF检验、KPSS检验等单位根检验方法来判断序列是否具有单位根，即序列是否非平稳。非平稳的时间序列可以通过差分的方法，通过牺牲样本数量，使差分序列不具备单位根。金融时间序列数据的另一个特征是自相关性，当前时间点上的值很大程度上会依赖于前若干时期变量的取值。金融时间序列数据如果存在序列相关性，那么我们使用传统的最小二乘法估计出来的参数是有偏非有效的。常用的检验时间序列自相关性的方法如Ljung-Box混成检验、DW检验、LM检验等。
对于存在自相关性的数据建模，学界常用的处理方法是自回归移动平均模型（ARMA）配合使用一个广义自回归条件异方差模型（GARCH）估计二阶矩过程。ARMA模型刻画了时间序列均值的变化形态，而GARCH模型刻画了时间序列方差的变化形态。一般的ARMA(p,q)模型的形式为
其中是白噪声序列，和分别表示自回归和滑动平均的阶数。关于ARMA模型的识别，即确定的过程，典型的ARMA模型一般采用自相关系数和偏自相关系数来识别。实践中通过样本估计出自相关系数和偏自相关系数也会随着抽样的变化而改变，但只要符合理论趋势，合理的偏差是可以容忍的。ARMA模型的弱平稳性要求特征方程的根都处于单位圆内，此时模型的不随时间变化的均值存在，且为。若ARMA模型有单位根，则须使用差分模型ARIMA模型对变量进一步作差分处理直到序列平稳。
ARMA模型的随机扰动项在不同的时间点上的方差不等于常数，即随机扰动项具有条件异方差性（ARCH），在此基础上可以考虑构建二阶波动率模型。提取ARMA模型的残差，可以用残差平方序列是否具有自相关性来检验ARCH效应，常用方法是对序列进行Ljung-Box混成检验。对于时间序列，令为t时刻的新息（均值模型的残差）。Bollerslev（1986）的GARCH(m,n)模型如下式：
其中是白噪声序列，。对的限制作为GARCH模型拟合过程中的重要边界条件保证了序列的平稳性特征从而无条件一二阶矩均存在。如前面一样，通常假定是标准正态的或正规化的t分布。若，上式就退化成Engel（1982）的ARCH (m)模型。
以上我们给出了ARMA-GARCH模型的一般形式，在实际运用中，为了符合金融时间序列所具有的尖峰厚尾的性质，在使用条件边缘分布时通常采用t分布或者GED分布。t分布或者GED分布比正态分布具有更厚的尾部，当t分布自由度大于4的时候，其分布的峰度就大于3。随着自由度趋于无穷，t分布收敛到正态分布。假设服从自由度为的标准t分布：
由此可见新息，即残差服从均值为0、标准差为的正规化t分布。从而收益率序列服从均值为、标准差为的正规化t分布，其密度函数如式（8）。
综上，通过ARMA-GARCH模型刻画的边缘分布的密度函数已经推导完毕。下一步，我们将联合变量各自的边缘分布和变量之间的Copula函数关系，建立ARMA-GARCH-Copula模型。
Copula模型的参数估计有很多方式，如极大似然、矩估计等参数估计；核估计等非参估计等。本文采用的是极大似然估计方法。首先，通过边缘分布的密度函数和Copula函数可以求出变量联合分布的密度函数。变量联合分布的密度函数：
本文采用了Patton（2001）给出的估计Copula模型的方法：两阶段极大似然估计法。第一步是边缘分布拟合，对参数进行估计，其中是第i个边缘分布的参数集。
大量的实证研究也表明直接估计似然函数和两阶段极大似然的结果误差在0.1%之内，参数估计的差异并不大。同时两阶段极大似然有利于分解出参数优化的目标函数，低复杂度的目标函数使Copula模型的估计的优化过程简化，改善了优化目标的凸性，即梯度下降的方向更明确从而参数迭代的速度加快。二阶段法可以同时多线程运行，大大提升了参数估计的效率，这对高维Copula函数的估计效率有巨大的帮助。
定理（Nelson，2006）对随机变量做严格单增变换，相应的Copula函数不会改变。即若函数满足，则
传统线性相关性分析度量变量之间的相关性是渐进线性的，对变量进行非线性变换处理会使得线性分析工具无效。然而Copula函数具有的良好性质是在对随机变量进行的一系列（非线性）严格单增变换时不会带来Copula函数相关性测度的变化。定理为Copula模型进行相关性分析奠定了基础。因此，使用Copula函数工具来分析变量间的相关性问题比传统线性相关性分析使用更加灵活、范围更广。除此之外，Copula函数用于研究相关性问题的优越性早已在20世纪初学者的研究实证之中给出了答案。首先是边缘分布和Copula函数选择的多样性、灵活性，这意味着变量间不同形态的尾部特征能够通过边缘分布和Copula函数的多种组合来实现寻找最优的拟合。其次，两阶段的极大似然估计方法有助于缓解高维空间中Copula模型估计过慢的问题。Copula函数的结构也是多样的，如Copula函数的线性混合、Vine Copula等。金融风险管理要求模型能够有效地抓住数据特征，灵活性、有效性、实用性都是金融风险管理方法的特征，从而能够为金融风险资产管理和投资提供有效分析和实证。基于Copula函数的相关性测度恰好满足其要求。
其中。一元上尾相依系数描述了在指定变量外的其他所有变量中，当且只当有一个变量处于上尾而其余变量没有处于上尾时，该指定变量发生的概率。
其中。元上尾相依系数描述了在指定变量外的其他所有变量中，当且只当有个变量处于上尾而其余变量没有处于上尾时，该指定变量发生的概率。
其中。全变元上尾相依系数描述了在指定变量外的其他所有变量中，当且只当有所有变量处于上尾时，该指定变量发生的概率。
其中。上尾全变元相依系数具有边缘分布的秩序不变性，即改变变量的顺序，上尾全变元相依系数不会发生变化。上尾全变元相依系数的大小只取决于变量的篮子是否发生改变。同样的方式可以定义下尾的多元尾部相依系数，在此不再赘述。
Gaida等人关注的多元尾部相依系数回答了当若干个其他变量处于尾部的时候，目标变量是否也处于尾部的“概率”这样一个问题。“概率”不是指概率本身，而是以一种条件概率线性加和的形式展现，反映出一种总体的尾部相依性。变量的多元尾部相依系数越大，意味着变量在组合中发生尾部风险的可能性更大。
本文注意到多元尾部相依系数具有的特殊形式，构造了结构化多元尾部相依系数：多元尾部相依系数矩阵。我们在关注单个资产的多元尾部相依系数的同时，还关注于整个资产池构成的系统内的风险相关性。对于当有且只有个变量处于尾部的时候，系统内其他变量中任一变量也发生尾部风险的概率。
其中表示资产在总资产池中所占的权重，使用市值加权或者价格加权的形式。同样的，可以定义系统的元下尾相依系数。
其中是变量的元上尾相依系数。是维矩阵，第i行代表变量的上尾相依系数组成的元数依次递增的序列，第i列代表系统的元上尾相依系数分散到每个变量上的成分。大大地方便了我们的计算，通过一次性估计即可得到我们需要的各种成分，如变量的上尾相依系数可以通过对矩阵的第i行求和得出，系统的元上尾相依系数可以通过对矩阵的第列求和得出。我们定义为变量对系统尾部风险的相依度。
考虑到选取尾部分位数不同会对多元尾部相依系数的估计造成数值膨胀和收敛性弱等问题，我们重新定义了归一化的尾部风险相依系数。
其中满足式（12）。同理定义下尾的风险相依度。系统中的尾部相依度衡量了在资产池中该资产变量受其他资产变量尾部风险相关性的相对大小，表现了容易被影响的程度。我们定义尾部风险相依度一方面是对多元尾部相依系数做归一化处理，其背后的经济含义是当系统内发生了一例因尾部风险造成的风险事件，那么该风险事件是变量产生的。另一方面，归一化、相对化指标缓解了因为尾部风险分位数的选择造成的多元尾部相依系数的膨胀。本质上，尾部风险相依度和多元尾部相依系数在横向比较时时等比例变化的。
另一个问题是多元尾部相依系数或尾部风险相依度衡量的是变量处于系统之中变量与变量之间的相互影响关系所呈现的尾部关联状态，是变量在系统中对其他变量的总体尾部相关性的反映。为了分离出单个变量对系统尾部风险相关性的贡献度，我们借助福利经济学或合作博弈理论中Shapley对贡献的分配思想，定义了变量对系统尾部风险相关性的贡献度。
系统上尾的风险相关性贡献度定义依然采用相对化定义，定义的目的是为了反映考虑变量加入到系统之后对系统其它变量尾部相依系数的增量。如果变量对系统其他变量具有正的尾部相关性，那么将大于0；反之如果变量对系统其他变量具有负的尾部相关性，那么将小于0。
我们针对系统的尾部相依系数式（16）和变量在系统中的相依度式（19）进行仿真模拟。系统的尾部相依系数在理论上反映了当且仅当整个系统中出现1到n-1个变量处于尾部时，额外再发生一个变量处于尾部的平均概率。在变量之间相互独立的情况下，系统的尾部相依系数均等于所设定的尾部风险分位数。随着整个系统的尾部相关性增强，系统的尾部相依系数应当整体均有变大的趋势。我们模拟了自由度为4，变量两两之间的相关系数为的n元t分布，协方差矩阵如下。
仿真模拟分别研究固定相关性的系统尾部相依系数在不同变量维度下的的分布形态和固定维度的系统尾部相依系数随着系统变量相关性增强的。我们的实验发现该研究目标不随尾部分位数产生太大的变化，因此我们选择能体现一般性的下分位5%来进行仿线左图的分布形态，我们发现
时系统尾部相依系数在形态上非常接近于参数为0.5的二项分布，通过放大二项分布至与系统尾部相依系数同比例的大小，再将其投影到系统尾部相依系数上（图1左图中以蓝色的点标出）。系统尾部相依系数明显比参数为0.5的二项分布具有尖峰厚尾的特征，意味着尽管变量之间的相关性程度非常一致，但也非独立的运算模式。如果我们假设等权重资产发生风险和不发生时风险的概率为
（0.5,0.95）的情景，那么当系统中有个资产处于尾部时，有且仅有额外一个资产发生风险的概率为，且满足式（17）。我们将构成的样本点拟合参数为的二项分布，估计出来的越大，则意味着系统的平均尾部风险更大。
变化的形态（右）由图1右图显示，随着相关系数增加，系统尾部相依系数的各成分均有不同程度的增长，增长的比例可参考二项分布。这意味着当系统的相关性很强时，系统尾部相依系数分布越是表现出尖峰厚尾的特征。当系统相关系数较低时，小于
较小时呈右偏，较大时几乎对称）。在相关系数非常高的时候，多元尾部相依系数会出现波动，直到波动至1的情况，这种波动取决于蒙特卡洛产生的伪观测值，因为构成多元尾部相依系数的成分减少会导致大数定理失效。但是即便扩大伪观测样本量，使得波动减弱，依然无法改变骤减的形态。因此，我们可以说明，通过设定尾部分位数计算的多元尾部相依系数无法刻画非常强的相关性。我们实证使用的银行业数据在0.6至0.7附近，产生1,000,000组伪观测样本，因此设定尾部分位数并使用蒙特卡洛方法估计的多元尾部相依系数是有效的。三、银行尾部风险相关性的实证研究
本节，我们对16家上市银行构成的银行系统进行尾部相关性研究。银行业的系统性风险和尾部风险一直是金融行业研究的热点问题，对风险大小、相关性的测度以及溢出效应的研究和评价还在持续完善的过程中。目前大多数学者采用CoVaR的方法或衍生技术对系统性风险相依度和尾部风险溢出等问题进行研究，而本文使用一种由Gaida Pettere等（2018）定义的多元尾部相依系数作为尾部风险相关性的测度指标。
本文的样本数据参考了近年来大多数对银行业的实证研究中的样本选择，保留了样本期大于10年的样本数据，对于新成立的银行机构不予以考虑。样本数据为16家上市银行的日频股票数据，主要包括股价与总市值。日收益率的计算采用收盘价的对数收益率，样本时间区间选择为2010年9月2日至2021年2月2日，时间区间的选择保证了该16家上市银行数据具有相同的维度，避免引入不等长数据的Copula估计的系列问题。样本无缺失值，共计2249个样本点，数据来源于Wind数据库。表1给出了样本数据的名称、股票代码以及收益率序列的描述性统计。
通过表1的描述性统计结果不难看出，国有大型银行中农工建交普遍比其他股份制商业银行具有更小的波动率。由于样本区间较长，收益率序列的平均值差异并不显著。中农工交的样本5%下分位数控制在2%之内，相比之下平安银行、宁波银行、南京银行等股份制商业银行相对幅度较大。每一家银行的95%分位数都显著大于5%分位数的绝对值，验证了金融收益率数据的偏态特征。我们进一步作出16家银行的收益率序列分布，见附录。银行的收益率序列具有非常明显的尖峰厚尾的性质，通过计算偏度、峰度以进行Jecque-Bera检验，结果参见表2。J-B检验的p值均趋于0，收益率序列非常显著地不服从正态分布。因此，对残差项建模我们主要考虑（偏）t分布和广义误差分布（GED）。t分布和广义误差分布相比正态分布具有更高的峰度，更适合刻画银行数据尖峰厚尾的性质而偏t分布能较好地刻画数据的偏态性质，同时GARCH模型的构建我们也可以考虑刻画偏态性质的EGARCH或TGARCH等。
本文分别对16家银行收益率序列做平稳性检验，平稳性检验采用单位根ADF检验。ADF检验的结果请参见表2。结果显示16家银行的收益率序列都可以认为是平稳的。因此，我们不必为数据作差分处理建立ARIMA模型，考虑使用ARMA模型作为边缘分布的均值模型即可。
我们对16家银行的收益率序列进行自相关性检验，采用Ljung-Box混成检验的方法。图1呈现了对16家银行Ljung-Box检验滞后40阶内的p值，图中的虚假标记为p=0.05。结果显示，宁波银行、招商银行、北京银行、农业银行、交通银行、工商银行、光大银行、建设银行和中国银行具有非常显著的序列相关性。浦发银行、民生银行、南京银行、兴业银行和中信银行表现出一定的序列相关性外，还伴随着周期性。我们考虑对招商银行、北京银行、农业银行、工商银行、建设银行和中国银行拟合ARMA过程中可以会用到相对较高阶数。对以上银行外的其他银行正常构建ARMA模型，即由王苏生等（2018）、Liu等（2019）、刘超（2020）等学者建议的使用限阶为4的ARMA-GARCH模型。最终模型的使用阶数要由模型的AIC与残差的K-S检验结果确定。
（二）边缘分布模型的构建我们开始构建样本均值序列的：ARMA模型。为了确定ARMA模型的阶数，我们按照惯例查看了16家银行收益率序列的自相关系数（ACF）和偏自相关系数（PACF）图，出于篇幅有限的原因我们不再展示样本的ACF与PACF结果。我们发现在样本之中没有任何一家银行的ACF和PACF显示出明显的截尾和拖尾的性质，从而无法肉眼识别出典型的ARMA阶数。因此，我们综合考虑拟合模型的似然值、参数个数，采用AIC信息准则对以上16家银行建立ARMA模型的最优阶数的搜索算法。16家银行的ARMA阶数参见表3。
我们对建立ARMA模型后的残差序列进行一次Ljung-Box混成检验，检验残差序列的自相关性。结果（见附录）显示农业银行、工商银行、光大银行和建设银行在5阶之内不具有自相关性，其余残差数据在合理区间内都没有表现出自相关性。我们仍谨慎性地对残差做一次Jecque-Bera检验检验，残差平方序列显著拒绝服从正态分布。
对于建立好的均值模型，我们现在检验ARCH效应是否存在。提取残差的平方序列，对残差平方序列进行一次Ljung-Box检验。结果显示南京银行、兴业银行ARMA模型的残差平方序列具有自相关性的概率很小，考虑构建低阶的GARCH模型。平安银行、浦发银行、华夏银行在低阶时具有自相关性的概率较大，GARCH模型的阶数理论上应该比较低。其他银行ARCH效应存在，于是我们开始构建波动方程GARCH模型。
我们对GARCH模型的分布类型主要考虑正态分布、t分布、偏t分布和广义误差分布，模型阶数的选择采用AIC信息准则遍历组合，最大化以下目标函数：
是GARCH模型概率积分转化的标准残差作K-S检验得到的P值。我们整合ARMA-GARCH模型，最终得到其阶数及分布类型如表3所示。表4 上市银行ARMA-GARCH模型收残差的概率积分转换K-S检验
我们采用两阶段法确定模型阶数，考虑主要是两个方面：一是面对高维数据遍历算法运行缓慢，为了节省参数估计的时间，让模型的参数估计更快。二是为了防止模型陷入全局过拟合的局面，全局最优参数组合可能往往不会是数据未来走势的最佳模拟。
我们对构建好的ARMA-GARCH模型计算残差和条件波动率，然后将标准化残差经对应的（偏）t分布和GED分布的分布函数转换，即概率积分转换，对得到的序列与[0,1]均匀分布做K-S检验，K-S检验的结果参见表4。所有银行概率积分转化后的标准化残差的通过K-S检验，这说明ARMA -GARCH模型的构建是恰当的。我们下一步是对概率积分转换后的标准化残差构建多元Copula模型。
我们按照严格的流程对16家银行的日对数收益率构建了ARMA-GARCH的边缘分布模型。现在，我们将用得到的16维概率积分转换后的标准化残差拟合多元Copula。标准化残差对变量作单增变换，变量之间的Copula函数不会改变，银行收益率序列数据在剔除ARMA均值，除以GARCH条件方差，以及分布函数的概率积分转化，本质上变换后的标准化残差具备的相关性性质会完整的复制与收益率序列数据。按照本文最初的设定，我们将拟合多元t-Copula作为实证分析的模型，拟合多元Clayton Copula、多元Gumbel Copula作为参考模型。
本文使用序贯最小二乘算法极小化多元t-Copula、多元Clayton Copula和多元Gumbel Copula的负对数似然函数，多元t-Copula的优化目标参见式（9），估计多元t-Copula的参数：自由度
表5的结果显示，多元t-Copula模型估计的对数似然值比多元Clayton Copula和多元Gumbel Copula更大，这意味着样本在多元t-Copula模型及参数下发生的可能性更高。基于对数似然函数和参数量计算的AIC、BIC也均是多元t-Copula模型更小。我们采用beta平滑的方法对样本拟合多元经验Copula函数
为分布的分布函数，代表样本在中的排序。对的空间线性划分，考虑计算量，每4维合1维，生成个观测点，计算该观测点下的Copula函数最大距离和平均距离。
计算结果一并放在表5中。结果证明，t-Copula函数与经验Copula函数的最大距离和平均距离，均比Clayton Copula和Gumbel Copula小。Copula函数之间的距离刻画了多元分布函数之间的差异， 进一步说明了t-Copula模型拟合效果更好。
（四）银行下尾风险静态相关性本文给出多元尾部相依系数矩阵的定义（定义6），我们使用蒙特卡洛方法估计5%下尾的相依系数矩阵，鉴于本文研究的数据维度达16维，蒙特卡洛方法存在维度灾难的问题，因此进行20轮1,000,000组伪观测值得蒙特卡洛模拟。模拟结果使用20轮均值，结果如表6。对于每个相依系数矩阵的组成元素，20轮模拟结果的标准差均保持在均值的2%范围内，因此该结果具有一定的稳健性。
根据多元下尾相依系数矩阵的估计结果，计算各家银行的下尾相依系数和系统的下尾相依系数，计算各家银行对整个银行系统尾部风险的相依度，结果一并放在表6中。系统下尾相依系数和16家银行对整个银行系统尾部风险的相依度的分布如图3。16家银行各自的尾部相依系数结构如图4。整个系统的尾部相依系数结构如图5。
变量的尾部风相依度衡量了系统内该变量受其他变量尾部风险的影响的容易程度。我们依据等权重和市值加权分别为尾部相依系数归一化，方便变量值边作对比。根据近10年的数据拟合的静态结构显示，中信银行具有最大的尾部风险相依度，其次分别是中国银行、建设银行、光大银行、交通银行。工商银行兴业银行、农业银行等其余银行的尾部风险相依度不及平均值6.25%。
如果系统内变量变量尾部相关性相同，那么变量的尾部风险相依度应该均等，且等于6.25%。当出现变量的尾部相依度增高的情况，会压缩其他变量的风险相依度。根据研究结果，等权重的尾部风险相依度可以解释为当银行系统出现了一例因为尾部风险相关性造成的风险事件，那么发生的这一例有13.5%的机会是中信银行，有9.3%的机会是中国银行，有7.6%的机会是建设银行…而市值加权的尾部风险相依度可以解释为当银行系统出现了因尾部风险相关性造成的风险损失，那么这损失的20.39%来自有建设银行，有17.6%来自有工商银行，有14%来自有中国银行…与CVaR计算系统性风险贡献度不同，系统性风险贡献度反映了当银行变量出现尾部风险的变化时，其产生的边际变化对银行系统会造成多大的影响。而我们的尾部风险相依度反映的是当银行系统出现边际变化的时候，对系统内银行会造成影响的期望。
图5描述了银行业系统的尾部风险相依系数的分布。与尾部风险相依度不同，尾部风险相依系数的分布从一定程度上可以用来解读风险的来源：个别的风险联动还是系统性风险。从我们第4章的实证结果得知，当系统内变量相关度均等的时候，即存在风险相关性但相互之间的相关性相同，尾部风险相依系数的分布接近于二项分布的形态。并且随着相关性增大，该分布呈现出越明显的尖峰厚尾形态。银行业的尾部风险相依系数的分布却出现明显的双峰形态，与二项分布形态相违背。由图5可得出，当系统的尾部风险发生事件在4至5例的时候出现第一个峰值，然后逐渐下降，在中间出现低谷，接着在尾部风险发生事件为11至12例的时候，出现第二个峰值。风险事件数量较低时，意味着银行业系统性风险较低，尾部风险的来源更多是因为银行个体或局部的组织、集体具有的风险相依性。风险事件数量较高时，我们认为系统性风险的影响较大。由于银行之间并非完全的线性相关，具有一部分独立的特征，因此系统性风险发生时，极高的尾部风险事件数的情况也相对11至12例发生较低。与二项分布相比，依然高出许多倍。另外一点需要注意的是，银行系统的尾部风险相依结构显示，右段比左端更厚。相比于风险均等的对称分布，说明了系统性风险的影响频率更高。
银行业系统的尾部风险相依系数的分布由系统性风险和个别、小团体联合尾部风险共同影响，最终形成双峰的形态。银行个体的尾部风险相依系数的分布与整个系统的尾部风险相依系数的分布也有小许差异。图4分别描述了16家银行各自的尾部风险相依系数结构。除了中信银行和中国银行外，其他银行基本呈现出双峰的形态。中信银行和中国银行受个别风险和系统性风险影响的频率比其他银行相对较低，结合尾部相依度来看，可能是被个体本身较大的尾部风险相依性稀释。平安银行、宁波银行、浦发银行、华夏银行、民生银行、招商银行、南京银行、兴业银行、北京银行等大型股份制商业银行本身则尾部风险相依性较低，分布形态上左峰较高，说明受个体风险影响大于系统性风险。工商银行、光大银行、建设银行的尾部风险相依结构显示所受的系统性风险影响较个体风险大。
（五）银行下尾风险相关性的动态特征我们对2010年8月-2020年8月的数据以12月为样本长度、12月为窗口滚动长度的进行划分采样，共10组数据样本。每组样本分别估计多元t-Copula，计算各家银行的下尾风险相依度，以及银行系统的下尾相依系数结构。16家银行的下尾风险相依度随时间变化的估计结果如图6。银行业系统的下尾相依系数结构随时间变化的估计结果如图6。
从图6的结果可以总结出，各家银行的等权重下尾风险相依度和市值加权的下尾风险相依度具有相同的变化趋势。这说明了市场价值的变化幅度远低于尾部风险相依度的变化幅度，从而两者的联合趋势表现为后者。等权重下尾风险相依度和市值加权的下尾风险相依度在值的量纲上没有交汇，因为没有任何一家银行的市场价值权重趋向等权重。当市场价值权重高于等权重时，市值加权的下尾风险相依度处于等权重下尾风险相依度的上方，反之。
另外，结合股票历史价格走势我们注意到随着风险相依度上升，风险损失增加，股票价格也会走低。如600016民生银行，从2015年初开始至今，股票价格就开始走低，反映在下尾风险相依度上，民生银行的等权重下尾风险相依度和市值加权的下尾风险相依度均有不同程度的上升。如002142宁波银行，在2014年底之前，其等权重下尾风险相依度和市值加权的下尾风险相依度均没有大幅变化，在此期间股票价格也持恒。2015年后，等权重下尾风险相依度和市值加权的下尾风险相依度均均开始下滑，伴随着的是股票价格持续走高。同样的规律也出现于国有大型银行，典型的如中国银行、建设银行等。
图7展示了银行业系统的下尾相依系数结构随时间变化的估计结果。结果显示中国银行业系统下尾风险相依系数结构随时间变化的趋势比较明显，非常突出的是在2015年风险相依系数结构的右峰出现峰值。2015年恰好是中国股灾之年，根据国家金融研究院的系统性风险研究报告，2015年6月CAFTIN金融巨灾指标超过警戒线，其中以
CoVaR、SES、SRISK指标显示银行业的系统性风险边际贡献行业最高，且系统性风险贡献度达到峰值。我们所建立的基于Copula模型的下尾风险相依系数结构，也识别出了2015年系统性风险峰值。2017年股市呈现结构性牛市，银行业的系统尾部相依系数也降至低点，与此同时统尾部相依系数结构反映出尾部风险主要由个体风险和局部风险联动导致。
2020年受疫情影响，银行业的系统尾部相依系数再次出现高位。银行行业指数显示，2020年上半年银行业跌至2019年来最低点，2020年6月份迎来暴涨，7月回落后一直出现横盘震荡。2020年银行业系统的尾部风险相依性突出反映了银行业受疫情带来的灰犀牛冲击出现行业内系统性风险加剧。处于经济恢复期内，国家宽松的货币政策引导投资者信心维持，使得系统性风险没有从市场收益率体现出来，但系统性风险引发的尾部风险相依性、风险的联动性透过指标依然可以反映。
2010年8月至2021年2月的静态数据估计的下尾风险贡献度结果显示，招商银行对银行系统尾部风险相依性贡献最大，其次平安银行、民生银行、北京银行、宁波银行、浦发银行、兴业银行、农业银行、光大银行分别对银行系统尾部风险具有不同程度的正相依性贡献。华夏银行、交通银行、工商银行、建设银行、中国银行、中信银行分别对银行系统尾部风险具有不同程度的负相依性贡献。我们大致能得出这样的结论，相比国有大型银行，股份制商业银行对系统尾部相依性贡献更大。中信银行、中国银行以及建设银行最容易遭受到其他银行尾部风险导致的相依性冲击。对系统尾部相依性贡献较大的股份制银行几乎更不容易受到来自其他银行的相依性冲击。
除了从整体的尾部风险相关性贡献来看，单个银行之间的尾部相依性贡献也可以通过同样的方式计算。表7每一行代表了该银行对其他银行造成的尾部相依系数的增加或减少，每一列代表了该银行受到来自其他银行尾部风险相关性的贡献。这样，通过矩阵的形式，单个银行之间两两相依性贡献程度就非常明了地刻画出来。甚者可以通过计算两个银行之间尾部相关性贡献度之和来衡量两个月后之间的尾部风险相关性大小。对于二元的尾部相关性的刻画我们早已有低维的模型来描述，因此本文不再对该目标进行讨论。
多元Copula和多元尾部相依系数是金融风险管理在尾部风险相关性学术研究中最新的问题，也是风险管理研究的重要组成部分。我们在Gaida Pettere等人的研究基础上展开研究，对多元尾部相依系数的测度问题就行了讨论。随着金融创新、金融深化、系统重要性金融机构的评定的深入发展，银行业的尾部相关性研究也成为了近年来国内专家学者研究的热点问题。我们多元Copula方法和多元尾部相依系数对银行尾部相关性进行了实证分析。
我们对2010年8月至2020年2月16家上市银行的股票日对数收益率展开实证研究。通过构建ARMA-GARCH模型刻画银行收益率序列的边缘分布，使用多元t-Copula对银行收益率序列建立相关性模型。我们使用蒙特卡洛法估计了银行系统下尾5%尾部相依系数矩阵，并计算了银行的尾部风险相依度和银行系统的尾部风险相依结构。我们的结果与王辉（2020）使用动态因子Copula的联合风险概率测度系统重要性程度、刘超（2020）使用CoVaR测度金融机构尾部风险溢出、林俊山（2020）使用Sharple值测度银行系统性风险、徐国祥等（2018）使用图模型和网络构建银行系统重要性指数等研究结果做了比对，结果呈现出一致性。我们的多元尾部相依系数作为相对尾部风险衡量方法，可以通过尾部风险相依度评估银行在系统内尾部风险相关度的大小，可以通过系统尾部相依结构识别单个银行和银行系统尾部风险来源于个别风险和系统性风险的比重，也可以通过时间轴滚动反映单个银行和银行系统尾部风险大小和结构的变化。尾部风险相关性贡献度则可以反映单个银行对其他银行、单个银行对整个银行系统尾部风险贡献的大小。我们的多元尾部相依系数能够捕捉到系统性风险引发的重大市场波动和资产的尾部联动效应，在一定程度上能为事后的风险评估提供参考。
（1）银行业系统中大型国有银行工农中建交普遍具有较大的尾部风险相依度，意味着受系统尾部风险相关性影响的程度较大。股份制商业银行中中信银行、光大银行的尾部风险相依度较大。尾部相依度的变化同股票收益率变化有很强的相关性。商业银行可根据自身的尾部风险结构形态，适时调整风险策略。
（2）中信银行、中国银行、建设银行具有正的尾部风险贡献度，贡献度反映的是该银行对整个银行系统尾部风险相关性的边际贡献。其他银行风险贡献度均为负。在总体排序中，大型国有银行依然排名靠前。各家银行可以通过尾部风险贡献度表查询其他银行对自身尾部风险的相关性大小，从而可以通过进行业务调整、合作签约、融资持股等方式对冲尾部风险。
（3）系统的尾部风险相依结构捕捉到了2020年间呈现出尾部风险相关性系统性成分较大的现象，是继2015年股灾之后新的高峰。受疫情因素的影响，银行业间的尾部相关性显著增强。监管机构需重视银行业系统尾部风险相依结构的实时变化，采取相应措施防范重大系统性风险的发生。
本文通过建立ARMA-GARCH-Copula模型对中国银行业尾部风险相关性进行刻画，使用基于多元尾部相依系数的方法分析。结果显示，过去10年间我国银行业系统性风险引发的尾部风险相依性和个别银行、银行团体联动的尾部风险相依性分布相似。由系统性风险引发的尾部风险相依发生的频率略高。并且近年来，系统性风险暴露越来越明显，银行业出现的风险相依性较2015年之前更大，具体表现在当系统内多个银行出现尾部风险的时候，引发额外一家银行出现尾部风险的概率增大。我们构建的系统多元尾部相依系数结构识别到了2015年股灾出现的系统性风险和2020年疫情因素导致的行业尾部风险联动，同时也捕捉到2017年系统性风险减弱时个别银行、银行团体尾部风险联动的增强。对于评价中国银行业系统的尾部风险相关性可以提供参考。结合多种指标去复盘金融业、银行业的发展状况，衡量系统性风险导致的尾部相依性强度对于行业研究、政策制定、公司治理是必要举措。
银行业尾部风险相依性的实证研究，对单个银行是否容易受到其他银行尾部风险相关性影响提供了依据。我们的结果显示，中信银行在所有银行中受到系统中其他银行的尾部风险影响的比重最大，高达13%。其次是中国银行的9.3%，建设银行、光大银行、工商银行紧随其后。而通过贡献度指标反映的易受其他银行尾部风险影响来看，也具有相同的结论：中信银行最容易遭受其他银行尾部风险的影响，其次是中国银行、建设银行等。从单个银行对系统内其他银行的尾部风险贡献度来看，中信银行、中国银行以及其他国有大型银行、华夏银行对系统尾部风险贡献度较低，并呈现负贡献度。系统性重要银行的评估办法及政策制定也可以对基于多元尾部相依系数构造的相关性指标作参考，建立更加完整、完善、多样化、结构化的尾部风险相关性研究体系。
对于政策制定者或行业研究员，利用多元尾部相依系数可以较为直观地给出经济体之间、行业之间、单个资产之间的尾部相关性受影响程度和贡献程度。可以抓住系统内变量的特殊尾部相关性表现对点分析、对症下药，及时有效地规范行业行为，以避免高尾部风险相关性的长期存在影响到系统中的其他成分。利用多元尾部相依系数的时变形态分析，可以帮助政策制定者或行业研究员观测到系统中变量的尾部相关性随时间变化的特征以及系统尾部风险结构的时变反映。根据该反映来判断尾部风险的变化以及系统性风险成分判断是否出现系统性风险的征兆，以及时制定相关政策缓冲。相比其他尾部风险测度方法，多元尾部相依系数提供了一种新的思路和方法，在一定程度上为政策决策辅助。
对于投资者而言，多元尾部相依系数为尾部风险管理提供了决策支持。投资者可以利用多元尾部相依系数衡量投资组合的尾部风险相关性大小，根据资产两两之间的尾部关联状况适时地调整组合头寸，从而减轻联合风险发生的概率，减少投资者破产风险。投资组合的系统尾部风险相依结构可以反映该投资组合的健康状态。当结构出现严重的左偏现象，即系统尾部风险相依结构右尾明显增厚的情况，说明整个组合发生尾部风险联合的数量较大，投资者应当及时减仓，调整头寸，形成分散化投资。
对于中国金融系统乃至银行业系统性风险和尾部风险的研究，现阶段大多以CoVaR或者网络结构作为模型出发点展开，使用高维模型的实证研究非常少。高维模型无论在理论上和实践中都表现出高难度。高维模型的理论证明过于复杂，很多情况没有显式解；而数值方法受限于维度灾难，计算缓慢。高维模型在目前处于刚起步的状态，在未来一定研究和发展的重点方向。从模型方法面的展望，多维Copula模型的估计和拟合度的研究，可能仍需要很长一段发展时间才会有进展。尽管目前计算机算力已有飞跃般的提升，但不及维度的死亡诅咒。一方面需要有创造性的理论突破，另一方面更多的需要计算机算力革命。
系统性风险和尾部风险的溢出效应、相关性分析是金融风险管理中经久不衰的研究问题，是专家学者、政策制定者、行业研究者、投资者都需要重点关注的目标。随着党中央国家“防范系统性金融风险”的主线进程开展，目前该问题的研究也在持续有力地推进中。只有真正地认清了系统性风险，才能有效地制定计划去减弱和避免系统性风险，才能保持中国金融业长远健康地发展。系统性风险和尾部风险的研究仍需要学者们投入大量的时间和精力。评估系统重要性的工作初有成效，防范系统性金融风险任重道远。
本文收录于《中国银行业发展研究优秀成果作品选集（2022）》，该书已由中国金融出版社发行，更多好文欢迎关注，欢迎订阅！